Címkearchívumok: végtelen

Minden szavam

Minden szavam
A végtelenben megtett lépés.
Valami és mégis semmi.

Minden gondolatom
Pára az örökkévalóság tükrén.
Megmutat valamit,
És eltakar valami mást.

A Nap kel és nyugszik,
Az égi fény örök,
Hogy ki vagyok igazán,
Sosem tudom meg talán.

A Nap kel és nyugszik,
A rejtély örök.
Hogy ki vagyok valóban?
Parázs írás,
Odakint a fagyott hóban.

Nyíregyháza, 2011. július 9.

Végtelen-e a világ?

Vajon mit tudhatunk meg ezzel a valószínűleg az emberiséget foglalkoztató egyik legalapvetőbb kérdéssel kapcsolatban, ha csak a józan eszünket használjuk, és csak néhány alapvető, hétköznapi tapasztalatot hívunk segítségül?

Először azt kell tisztáznunk, milyen értelemben vizsgáljuk a világ végtelenségét. Első közelítésként, és ez valószínűleg elegendő is lesz, háromfajta végtelenséget vizsgálhatunk. Térbeli, időbeli és történésbeli végtelenséget. Ez utóbbi talán némi további magyarázatra szorul, történésbeli végtelenségen a világ állapotainak számosságát értem, azaz a világ fázisterének kimeríthetetlenségét, vagyis azt, hogy ugyanaz a dolog megtörténik-e ugyanúgy még egyszer. Erről még bővebben fogunk beszélni a későbbiekben. A három említett végtelenség persze összefügg egymással, amint azt látni fogjuk.

Talán a legegyszerűbb az időbeli végtelenség kérdése, és ez bizony meglepő lehet. Én magam soha nem gondoltam volna, hogy mennyire egyszerűen kezelhető ez a kérdés, míg nem olvastam egy ókori görög filozófus gondolatait (hogy ki volt ez a zseniális filozófus, arra nem emlékszem, csak a gondolat tisztasága és egyszerűsége ragadott meg azonnal). Ő úgy gondolkodott, hogy a világ múltja nem lehet végtelen, mert végtelen idő egészen egyszerűen nem múlhatott el a mostani pillanatig. A végtelen ugyanis egy lehetőség. Ha elkezdünk számolni egytől fölfelé, könnyen elképzelhetjük, hogy a számlálást a végtelenségig folytathatjuk, de az utolsó számot soha nem érhetjük el. A végtelen tehát egy lehetőség, ami soha nem valósul meg, ezért végtelen. Ha az idő a múltban végtelen, az ezzel szemben egy megtestesült végtelen, egy olyan végtelen, amelynek fogjuk az egyik végét, de a másik vége nem csupán egy lehetőség, mint a számok esetében, hanem egy megvalósult végtelen. És erről úgy gondoljuk, hogy nem létezhet. Valójában a problémát mindhárom végtelen esetében az okozza, hogy az ember a gondolataiban csak olyan objektumokkal tud foglalkozni, amelyeknek létezik a valóságban valamiféle megfelelője. És a végtelen nem ilyen. A végtelenről nincsen tapasztalatunk, a lehetséges végtelent el tudjuk képzelni, de az aktuális végtelent nem. Az életünkben mindennek kezdete és vége van, de ezek a kezdettel és véggel rendelkező dolgok egymást követik az időben, látszólag vég nélkül, de számunkra ez egy lehetséges végtelen és nem aktuális, megtapasztalható végtelen, hiszen a véges időbeli és térbeli, valamint véges bonyolultságú értelmünkkel a végtelenről nem lehet tapasztalatunk.

De be kell vallanom, most, hogy megpróbáltam elmagyarázni, miért egyértelmű, hogy végtelen idő nem telhetett el a mostani pillanatig, valójában erre nem vagyok képes. Egyszerűen nyilvánvalónak érzem, de teljesen egzakt érvelést nem tudok rá adni. Szerencsére az időbeli végtelenséggel szemben fizikai érvek is felsorakoztathatunk. Nagyon úgy néz ki, hogy a Világegyetem egy irányban fejlődik, a hidrogénből hélium, abból szén és oxigén lesz, a sort pedig a vas zárja. A vas a vége a csillagok fúziós életének, szupernóva robbanásban ugyan keletkezhetnek nehezebb elemek is, de a fúziós korszaka a Világegyetemnek előbb-utóbb lezárul, ehhez véges idő szükséges, ha tehát a Világegyetem végtelen idős, akkor már nem lennének csillagok. A világ fekete lyukakkal megtelt, termodinamikai egyensúlyban, a hő halál állapotában lenne már tulajdonképpen végtelen ideje, hiszen a végtelen múltjához képest a véges csillagkorszak tulajdonképpen egy villanásnyi idő lenne. Ez is a baj a végtelen múlttal, hogy ahhoz képest bármilyen véges időtartam tulajdonképpen olyan, mintha meg sem történt volna, a végtelen időhöz képest bármilyen véges idő nulla időtartammá zsugorodik.

Fogadjuk el tehát, hogy a világnak kezdete volt. Sajnos ezzel sem vagyunk kisegítve, ugyanis arról sincsen tapasztalatunk, milyen az, amikor semmi sem létezik, és egyszer csak a semmiből kipattan a világ. A hétköznap tapasztalataink mind azt mutatják, hogy minden következménynek azt megelőző kiváltó oka van, így nem tudunk egy ok nélkül a semmiből előbukkanó világ képével sem mit kezdeni.

Megállapítható tehát, hogy a valószínűbb válasz az, hogy a világnak kezdete van, és nem végtelen öreg, viszont mi emberek ezzel a válasszal sem tudunk elégedettek lenni. Nyugodtan kijelenthető, hogy a világ időbeli végtelenségéről lehetnek gondolataink, véleményünk, de valódi megnyugtató válasz a kérdésre nem adható.

Tulajdonképpen ugyanide juthatunk a térbeli végtelenséggel kapcsolatban is, a valószínű válasz erre is az, hogy a világ nem végtelen térben, de ezzel a válasszal ugyancsak nem lehetünk elégedettek, hiszen arról sincsen tapasztalatunk, milyen az, ha elérünk a világ végére, és nem tudunk tovább menni, holott semmi sincsen, ami megakadályozna bennünket ebben. Egyetlen elképzelhető véges világot tudnánk még úgy-ahogy elfogadni: a véges, de határtalan világban sohasem juthatunk a semmi szélére, ezzel szemben az egyik irányban elindulva előbb-utóbb vissza fogunk érni a kiindulási pontunkra, anélkül, hogy megfordultunk volna. Ez bár igen furcsa, de elképzelhető és elfogadható. Az időbeli végtelenséggel ez a térbeli világ nem fér össze, mert például a benne lévő tömeg gravitációs hatása végtelenszer járja körbe a világot, ugyanígy a fotonok is végtelenszer futnak körbe, ami egy önmagát végtelenszer megsokszorozó világot eredményezne.

A világ térbeli-, és időbeli végtelenségével kapcsolatban van egy nagyon ősi tapasztalat, ami kizárja, hogy a világ mind térben, mind időben végtelen legyen, ez pedig nem más, mint a sötét éjszakai égbolt. És bár őseink, amióta emberré válva tudatukra eszméltek, mindig is ilyen sötét égbolt alatt éltek, mégis egy Olbers nevű orvos kellett ahhoz, hogy ezen az egyszerű tényen elgondolkodjon, és hogy messzemenő következtetéseket vonjon le belőle. Ha ugyanis a térben végtelen számú csillag van, akkor bármilyen irányba nézünk az égbolton, előbb-utóbb egy csillagba ütközik a tekintetünk. A por és gázködök ideig-óráig elrejthetnek ugyan csillagokat, de ami fényt nyel el, az előbb utóbb ki is sugározza azt a fényt, tehát ez nem okozhatja az égbolt sötétségét. A világ tehát biztosan véges vagy térben, vagy időben, vagy ha térben és időben végtelen, akkor sem tartalmazhat végtelen számú csillagot, tehát a végtelen űr egy határon túl már teljesen üres. Ennyit legalább teljes bizonyossággal kijelenthetünk.

Végül nézzük meg a történésbeli végtelenség kérdését. Ez azért nagyon fontos kérdés, mert mostanában az ismeretterjesztő könyvekben és filmekben nagyon elharapózott az a tévhit, hogy egy végtelen világegyetemben minden megtörténhet, akár végtelenszer is, azaz belőlünk is végtelen példány létezhet, méghozzá végtelenféle környezetben, az egyikünk éppen kínaiul ír, a másikunk pedig egy olyan Magyarországon él, melynek három tenger mossa a határait. Csakhogy, attól, hogy a világ végtelen – láttuk, hogy valószínűleg nem az – még nem következik az, hogy mindenféle történés végtelenféleképpen meg is történik benne. Elképzelhető egy olyan végtelen világ is, amelyben egyedül a Földön van élet, az összes többi, végtelen számú bolygó élettelen. És nemhogy végtelenszámú emberi történelem nincs, de csupán egyetlen egy van, az, amelyik itt zajlik ezen az egyetlen Földön. A végtelen tér és idő még nem jelenti feltétlenül a végtelen változatosságot is, ez bár nagyon sok sci-fi könyv vagy film alapötletét adhatja, de nem feltétlenül igaz, egy végtelen világ akár lehet végtelenül egyszerű és sivár is.

A történésbeli ismétlődés viszont felvethet még egy érdekes kérdést, az pedig az örök visszatérés témája, vajon ha a Világegyetem eljut egy korábbi állapotával megegyező állapotba, ez azt jelenti, hogy onnantól kezdve minden megismétlődik? Ha a világ determinált, akkor igen. Sok jel viszont arra mutat, hogy a kvantummechanika a biztosítéka annak, hogy a világ nem determinált, így egy korábbi állapotának újbóli megismétlődése még nem jelenti a teljes eseménysor újbóli lezajlását, ez ugyanis egy, a sorsát végtelenszer megismétlő Univerzumot eredményezne. A mikrovilág viselkedését leíró Schrödinger egyenlet ugyanis jelenlegi ismereteink szerint nem determinisztikus módon felel a mérhető makro állapotok előállításáért, így ugyanolyan eseményeknek különféle kimenetele is lehetséges.

A történésbeli végtelenség felvet egy újabb kérdést, ami a végtelen egy újabb aspektusával kapcsolatos, mégpedig a végtelen oszthatóság problémájával. Ha az idő és a tér végtelenül osztható, az legalább olyan súlyú gondokat vethet fel, mint a térbeli és időbeli végtelen kiterjedés. Talán nem véletlen, hogy az energia nem osztható fel tetszőlegesen kicsiny adagokra, talán a térrel és az idővel is ugyanez a helyzet, nem folytonos, hanem kvantumos. Egy ilyen világ, ha sem térben, sem időben nem végtelen, és most nagyon úgy tűnik, ez a valószínűbb, egy véges állapotteret eredményez, azaz a történésbeli végesség is biztosított, azaz a Világegyetem ismételheti a korábbi állapotait. Az indetermináltságból ugyan az következik, hogy ha egyszer belelép ugyanabba a folyóba, akkor attól még nem fogja önmaga sorsát újra és újra végig járni, de az mégiscsak előfordulhat, hogy ugyanazok az állapotai újra és újra megismétlődnek, ha nem is ugyanabban a sorrendben, azaz lehetséges, hogy az Univerzum komplexitása véges.

Vajon ez a véges bonyolultságú világ képes-e az összes állapotát felvenni, vagy csak egy kisebb részhalmazát ismétli meg újra és újra, még ha az egyes események más és más sorrendben is követik egymást?

És vajon a Világegyetem eseményterének része-e az az esemény, amikor egy tudatos elme egyszer csak megérti az Univerzum működését? Vagy ez a kivételes esemény egy olyan részhalmaz része, ahová az Univerzum állapot vektora sohasem jut el?

2013. február 2.

A Hilbert-hotel – a végtelen, közelebbről

A végtelenről még azt sem tudjuk, hogy létezik-e egyáltalán, mégis talán semmi sincs, ami ennyire elbűvölné az emberi képzeletet, és ami ennyi munkát adna a gondolkodóknak, mint a végtelen.

Van egy, a végtelenről szóló könyvekben gyakran felidézett bizonyítás arról, hogy a végtelenhez korlátlanul lehet hozzáadni további elemeket, attól a végtelen még ugyanolyan végtelen marad. Ebben a bizonyításban szerepel egy bizonyos Hilbert-hotel, a világ egyik legnagyobb matematikusáról, David Hilbertről elnevezett szálloda. Ez egy olyan különleges szálloda, melynek végtelen számú szobája van, és minden szobájában van is egy vendég (itt most tételezzük fel, hogy a szobák egyágyasak, azaz egy szobában csak egy vendég szállhat meg).

Érkezik egy új vendég. Mi a teendő? A bizonyítás szerint minden vendég költözzön egy számmal nagyobb számú szobába, mint amiben jelenleg van, így az első szoba szabad lesz az új vendég számára. Hasonló, kicsit trükkösebb gondolatmenettel, végtelen számú vendéget is el lehet helyezni a szállodában, sőt lehetőség van megszámlálhatóan végtelen szállodából érkező megszámlálhatóan végtelen vendéget is vendégül látni abban a Hilbert-hotelben, amiben már eredetileg is megszámlálhatóan végtelen számú vendég volt a megszámlálhatóan végtelen számú szobában.

Nekem ez a bizonyítás sohasem tetszett, és ezzel lehet, hogy egyedül vagyok a világon, ugyanis sehol sem olvastam még, hogy ezzel a bizonyítással kapcsolatban kétségek merültek volna fel.

Az első probléma: ha azt szeretnénk bizonyítani, hogy végtelen + végtelen = végtelen, van sokkal egyszerűbb módszer. A páros számok és a páratlan számok számossága végtelen, egy halmazba téve a számosság megszámlálható végtelen marad. A továbbiakban, hogy kevesebbet kelljen írni, végtelen alatt megszámlálható végtelent értek.

Ha a végtelenhez egyet szeretnénk hozzáadni, vegyük az 1 számot tartalmazó halmazt, és az 1-nél nagyobb számok halmazát, aminek a számossága végtelen. A két halmaz egyesítése végtelen számosságú halmazt ad.

Ugyanígy vehetjük a 2, 3, 4, … többszöröseit tartalmazó halmazokat, tisztítsuk meg a halmazokat úgy, hogy egy szám csak egyszer szerepeljen egy halmazban, ezen halmazok száma végtelen, a számosságuk egyenként végtelen, egyesítsük őket, visszakapjuk a pozitív egészek halmazát, ami végtelen számosságú.

Tehát mindhárom, a Hilbert-hotelben szereplő esetet bizonyíthatjuk a Hilbert hotel nélkül is, ráadásul problémamentesen, szerintem matematikailag is korrekt módon.

Ezzel ellentétben a Hilbert-hotellel kapcsolatban azonnal felmerülhet egy kérdés: miért kell az első szobával kezdeni az átköltöztetést? Miért nem lehet a tízedikkel, vagy az egy milliomodik szobával indítani a procedúrát? Minél nagyobb szobaszámot választunk, annál kevesebb vendéget kell megmozgatnunk. Úgy néz ki, az érvelés nem függ annak a szobának a sorszámától, ahonnan elkezdjük az átköltöztetést. Növeljük meg ennek a szobának a sorszámát minden határon túl, és mondjuk meg az új vendégnek, válasszon egy tetszőlegesen nagy sorszámú szobát, és onnan kezdve költöztessen át minden vendéget az eggyel nagyobb sorszámú szobába. Így ahelyett, hogy a vendégek költöznének, az új vendég megy egyre nagyobb és nagyobb sorszámú szobához, hogy rájöjjön, elegendő a következő szobánál kezdeni az átköltöztetést. Így viszont sohasem fog tudni beköltözni.

Mi a különbség az eredeti Hilbert-hotelben alkalmazott módszer és e között? Abban a változatban ismertük az első szoba helyét, és az egész végtelen sort eggyel eltoltuk, nem kellett azzal törődnünk, mi van a sor végén. Az új módszerrel viszont az vendégnek mintha az utolsó szobát kellene megtalálnia, azért, hogy ne kelljen a szállóvendégeknek kellemetlenséget okozni a költözéssel. Csakhogy nincs utolsó szoba, hiszen a szobák száma végtelen. Így a vendég végtelen ideig keresi azt, hogy hol van számára hely.

De, ha bármelyik szobánál elkezdjük az átköltöztetést, akkor a vendég megtalálja a helyét, ha egyre távolabbi szobát keresünk, a vendég nem tud beköltözni. Nem furcsa ez egy kicsit?

Mintha az átköltöztetéssel tulajdonképpen csak lepleztük volna azt a problémát, hogy nincs utolsó szoba. Mintha egy végtelen hosszú kockasort az elejénél megtoltunk volna egy kockányit, és nem érdekelne bennünket, hogy vajon ez a művelet elvégezhető-e.

Miért vagyunk annyira biztosak benne, hogy igen? Már persze aki biztos benne, én éppen azért írom ezt a kis értekezést, mert számomra ez nem nyilvánvaló. A végtelen természetéből következik, hogy a sor végéhez nem tudunk hozzáadni, nincs olyan, hogy sor vége. Miért természetes, hogy az elejéhez hozzá tudunk adni, illetve bárhová be tudunk szúrni egy új elemet.

Azzal, hogy elfogadtuk, hogy egy végtelen kockasort el tudunk tolni egy kockányival, már bizonyítottuk is, hogy egy hozzáadása a végtelenhez lehetséges. Csakhogy éppen ezt a lépést nem bizonyítottuk, így az egész bizonyítás hibás. Egyszerűen elfogadtuk, hogy lehetséges minden vendéget egy tetszőleges szobától kezdve (az eredeti bizonyításban ez az első szoba volt), nagyobb sorszámú szobába költöztetni.

Tudom, hogy matematikai problémáknál nem szabad a valós korlátokkal foglalkozni, de most mégis nézzük meg a gyakorlati megvalósítást: az első szoba kiürül, az új vendég beköltözik, egy vendég odakint van, amíg az ő szobája is felszabadul, akkor beköltözik, viszont egy újabb vendég költözik. Tehát az új vendég beköltözött, de egy vendég mindig költözik, vagyis nem csináltunk semmit, valójában az új vendég helyébe egy permanens költöző lépett.

Nyilván a matematikában ez nem probléma, a költözés végtelen gyorsan történik, így mégis csak elhelyeztünk mindenkit. Csakhogy, ez a helyzet ekvivalens azzal, mint ha az új vendég menne végig végtelen sebességgel a szobák során, és elfoglalná az utolsó szobát, amit végtelen sebességgel el tudna foglalni, még akkor is, ha számunkra ez az utolsó szoba elérhetetlen, nem tudunk rámutatni, nem létezik ilyen.

És van még egy nagyon furcsa gondolatom a Hilbert-hotellel kapcsolatban, ez már egy kicsit ingoványosabb terület, azzal kapcsolatos, hogy ha van egy megszámlálhatóan végtelen halmazom valamilyen dologból, akkor lehet-e ugyanilyen dolog a végtelen halmazon kívül. Azaz, ha végtelen számú ember van a Hilbert-hotelben, érkezhet vajon új ember a hotelhez? Ezzel azt a kérdést szerettem volna megfogalmazni, hogy vajon a végtelen egyúttal mindent magába foglaló is egyben? Vagyis, ha a Hilbert-hotel végtelen számú szobájában végtelen számú ember van, lehet-e valaki még odakint? A fordított módszert használva, a válasz: igen. Költözzön ki az első szobából a vendég, és mindenki költözzön eggyel kisebb számú szobába. Végtelen vendég lesz a hotelben, és lesz egy ember odakint is. Hogy mi lesz a sor végén, most sem tudjuk, hiszen számunkra nincs olyan, hogy sor vége, sem utolsó szoba.

Azaz a végtelen hotelből kiköltöztetve az embereket, elérhetjük akár azt is, hogy odakint ugyanúgy végtelen számú ember legyen, mint ahány vendég a hotelben van. Költöztessünk ki minden vendéget az első szobával kezdve, minden vendég kezébe adjunk egy darab papírt annak a szobának a számával, ahonnan kiköltözött. Az üres szobákat pedig lefelé töltsük fel. A kinti emberek kezében lévő papír a számmal, megfeleltethető az ugyanolyan számú szobának, amiben most olyan vendég van, aki nagyobb sorszámú szobából költözött kisebb számúba. Tehát egy-egy megfeleltetés lehet a kinti és benti végtelen számú ember között.

És bár a Hilbert-hotelről írva, több dolgot is jobban megértettem a végtelennel kapcsolatban, az bizonyos, hogy nagyon óvatosan kell vele bánni. A hétköznapi intuíciónk tévútra vihet. Én magam most azok közé tartozónak érzem magam, akik elfogadják a matematikai végtelent, az aktuális és potenciális végtelent is, viszont a fizikai, reális végtelen létezését nem tudom elfogadni, elképzelni sem. Annyi furcsa tulajdonsága van a végtelennek és a végtelen sok fajta végteleneknek, hogy az a valóságban már nagyon sok kellemetlenséget okozott volna, ha valóban létezne aktuális fizikai végtelen. Ám az, ahogy a matematikában kiderül, hogy mégis lehet bánni a végtelennel is, sőt igen hasznos dolgokra is lehet használni, lehet, hogy egyszer oda vezet majd, hogy ráismerünk a valóságban is valamilyenfajta végtelenre, olyanra, ami nem rémisztő, nem végzetes, viszont szükséges a Világegyetem működéséhez.

Ali Pazani képe a Pexels.com oldalról

Szerettem volna, ha a végtelent száműzni lehet a matematikából és a fizikából, de ahogy egyre érdekesebb dolgokat tudok meg a matematikai végtelenről, most úgy látom a végtelen száműzésével végtelen gazdagságot veszítene a tudomány. Ahogy a nulla is kilóg valamiképpen a matematikából, ahogy a NULL és a NIL problémákat okoz a programozásban, mégsem szabadulhatunk tőlük, így a végtelen is minden furcsaságával együtt része a világunknak.

Nyíregyháza, 2020. március 24. – 2020. június 3.