A végtelenről még azt sem tudjuk, hogy létezik-e egyáltalán, mégis talán semmi sincs, ami ennyire elbűvölné az emberi képzeletet, és ami ennyi munkát adna a gondolkodóknak, mint a végtelen.

Van egy, a végtelenről szóló könyvekben gyakran felidézett bizonyítás arról, hogy a végtelenhez korlátlanul lehet hozzáadni további elemeket, attól a végtelen még ugyanolyan végtelen marad. Ebben a bizonyításban szerepel egy bizonyos Hilbert-hotel, a világ egyik legnagyobb matematikusáról, David Hilbertről elnevezett szálloda. Ez egy olyan különleges szálloda, melynek végtelen számú szobája van, és minden szobájában van is egy vendég (itt most tételezzük fel, hogy a szobák egyágyasak, azaz egy szobában csak egy vendég szállhat meg).

Érkezik egy új vendég. Mi a teendő? A bizonyítás szerint minden vendég költözzön egy számmal nagyobb számú szobába, mint amiben jelenleg van, így az első szoba szabad lesz az új vendég számára. Hasonló, kicsit trükkösebb gondolatmenettel, végtelen számú vendéget is el lehet helyezni a szállodában, sőt lehetőség van megszámlálhatóan végtelen szállodából érkező megszámlálhatóan végtelen vendéget is vendégül látni abban a Hilbert-hotelben, amiben már eredetileg is megszámlálhatóan végtelen számú vendég volt a megszámlálhatóan végtelen számú szobában.

Nekem ez a bizonyítás sohasem tetszett, és ezzel lehet, hogy egyedül vagyok a világon, ugyanis sehol sem olvastam még, hogy ezzel a bizonyítással kapcsolatban kétségek merültek volna fel.

Az első probléma: ha azt szeretnénk bizonyítani, hogy végtelen + végtelen = végtelen, van sokkal egyszerűbb módszer. A páros számok és a páratlan számok számossága végtelen, egy halmazba téve a számosság megszámlálható végtelen marad. A továbbiakban, hogy kevesebbet kelljen írni, végtelen alatt megszámlálható végtelent értek.

Ha a végtelenhez egyet szeretnénk hozzáadni, vegyük az 1 számot tartalmazó halmazt, és az 1-nél nagyobb számok halmazát, aminek a számossága végtelen. A két halmaz egyesítése végtelen számosságú halmazt ad.

Ugyanígy vehetjük a 2, 3, 4, … többszöröseit tartalmazó halmazokat, tisztítsuk meg a halmazokat úgy, hogy egy szám csak egyszer szerepeljen egy halmazban, ezen halmazok száma végtelen, a számosságuk egyenként végtelen, egyesítsük őket, visszakapjuk a pozitív egészek halmazát, ami végtelen számosságú.

Tehát mindhárom, a Hilbert-hotelben szereplő esetet bizonyíthatjuk a Hilbert hotel nélkül is, ráadásul problémamentesen, szerintem matematikailag is korrekt módon.

Ezzel ellentétben a Hilbert-hotellel kapcsolatban azonnal felmerülhet egy kérdés: miért kell az első szobával kezdeni az átköltöztetést? Miért nem lehet a tízedikkel, vagy az egy milliomodik szobával indítani a procedúrát? Minél nagyobb szobaszámot választunk, annál kevesebb vendéget kell megmozgatnunk. Úgy néz ki, az érvelés nem függ annak a szobának a sorszámától, ahonnan elkezdjük az átköltöztetést. Növeljük meg ennek a szobának a sorszámát minden határon túl, és mondjuk meg az új vendégnek, válasszon egy tetszőlegesen nagy sorszámú szobát, és onnan kezdve költöztessen át minden vendéget az eggyel nagyobb sorszámú szobába. Így ahelyett, hogy a vendégek költöznének, az új vendég megy egyre nagyobb és nagyobb sorszámú szobához, hogy rájöjjön, elegendő a következő szobánál kezdeni az átköltöztetést. Így viszont sohasem fog tudni beköltözni.

Mi a különbség az eredeti Hilbert-hotelben alkalmazott módszer és e között? Abban a változatban ismertük az első szoba helyét, és az egész végtelen sort eggyel eltoltuk, nem kellett azzal törődnünk, mi van a sor végén. Az új módszerrel viszont az vendégnek mintha az utolsó szobát kellene megtalálnia, azért, hogy ne kelljen a szállóvendégeknek kellemetlenséget okozni a költözéssel. Csakhogy nincs utolsó szoba, hiszen a szobák száma végtelen. Így a vendég végtelen ideig keresi azt, hogy hol van számára hely.

De, ha bármelyik szobánál elkezdjük az átköltöztetést, akkor a vendég megtalálja a helyét, ha egyre távolabbi szobát keresünk, a vendég nem tud beköltözni. Nem furcsa ez egy kicsit?

Mintha az átköltöztetéssel tulajdonképpen csak lepleztük volna azt a problémát, hogy nincs utolsó szoba. Mintha egy végtelen hosszú kockasort az elejénél megtoltunk volna egy kockányit, és nem érdekelne bennünket, hogy vajon ez a művelet elvégezhető-e.

Miért vagyunk annyira biztosak benne, hogy igen? Már persze aki biztos benne, én éppen azért írom ezt a kis értekezést, mert számomra ez nem nyilvánvaló. A végtelen természetéből következik, hogy a sor végéhez nem tudunk hozzáadni, nincs olyan, hogy sor vége. Miért természetes, hogy az elejéhez hozzá tudunk adni, illetve bárhová be tudunk szúrni egy új elemet.

Azzal, hogy elfogadtuk, hogy egy végtelen kockasort el tudunk tolni egy kockányival, már bizonyítottuk is, hogy egy hozzáadása a végtelenhez lehetséges. Csakhogy éppen ezt a lépést nem bizonyítottuk, így az egész bizonyítás hibás. Egyszerűen elfogadtuk, hogy lehetséges minden vendéget egy tetszőleges szobától kezdve (az eredeti bizonyításban ez az első szoba volt), nagyobb sorszámú szobába költöztetni.

Tudom, hogy matematikai problémáknál nem szabad a valós korlátokkal foglalkozni, de most mégis nézzük meg a gyakorlati megvalósítást: az első szoba kiürül, az új vendég beköltözik, egy vendég odakint van, amíg az ő szobája is felszabadul, akkor beköltözik, viszont egy újabb vendég költözik. Tehát az új vendég beköltözött, de egy vendég mindig költözik, vagyis nem csináltunk semmit, valójában az új vendég helyébe egy permanens költöző lépett.

Nyilván a matematikában ez nem probléma, a költözés végtelen gyorsan történik, így mégis csak elhelyeztünk mindenkit. Csakhogy, ez a helyzet ekvivalens azzal, mint ha az új vendég menne végig végtelen sebességgel a szobák során, és elfoglalná az utolsó szobát, amit végtelen sebességgel el tudna foglalni, még akkor is, ha számunkra ez az utolsó szoba elérhetetlen, nem tudunk rámutatni, nem létezik ilyen.

És van még egy nagyon furcsa gondolatom a Hilbert-hotellel kapcsolatban, ez már egy kicsit ingoványosabb terület, azzal kapcsolatos, hogy ha van egy megszámlálhatóan végtelen halmazom valamilyen dologból, akkor lehet-e ugyanilyen dolog a végtelen halmazon kívül. Azaz, ha végtelen számú ember van a Hilbert-hotelben, érkezhet vajon új ember a hotelhez? Ezzel azt a kérdést szerettem volna megfogalmazni, hogy vajon a végtelen egyúttal mindent magába foglaló is egyben? Vagyis, ha a Hilbert-hotel végtelen számú szobájában végtelen számú ember van, lehet-e valaki még odakint? A fordított módszert használva, a válasz: igen. Költözzön ki az első szobából a vendég, és mindenki költözzön eggyel kisebb számú szobába. Végtelen vendég lesz a hotelben, és lesz egy ember odakint is. Hogy mi lesz a sor végén, most sem tudjuk, hiszen számunkra nincs olyan, hogy sor vége, sem utolsó szoba.

Azaz a végtelen hotelből kiköltöztetve az embereket, elérhetjük akár azt is, hogy odakint ugyanúgy végtelen számú ember legyen, mint ahány vendég a hotelben van. Költöztessünk ki minden vendéget az első szobával kezdve, minden vendég kezébe adjunk egy darab papírt annak a szobának a számával, ahonnan kiköltözött. Az üres szobákat pedig lefelé töltsük fel. A kinti emberek kezében lévő papír a számmal, megfeleltethető az ugyanolyan számú szobának, amiben most olyan vendég van, aki nagyobb sorszámú szobából költözött kisebb számúba. Tehát egy-egy megfeleltetés lehet a kinti és benti végtelen számú ember között.

És bár a Hilbert-hotelről írva, több dolgot is jobban megértettem a végtelennel kapcsolatban, az bizonyos, hogy nagyon óvatosan kell vele bánni. A hétköznapi intuíciónk tévútra vihet. Én magam most azok közé tartozónak érzem magam, akik elfogadják a matematikai végtelent, az aktuális és potenciális végtelent is, viszont a fizikai, reális végtelen létezését nem tudom elfogadni, elképzelni sem. Annyi furcsa tulajdonsága van a végtelennek és a végtelen sok fajta végteleneknek, hogy az a valóságban már nagyon sok kellemetlenséget okozott volna, ha valóban létezne aktuális fizikai végtelen. Ám az, ahogy a matematikában kiderül, hogy mégis lehet bánni a végtelennel is, sőt igen hasznos dolgokra is lehet használni, lehet, hogy egyszer oda vezet majd, hogy ráismerünk a valóságban is valamilyenfajta végtelenre, olyanra, ami nem rémisztő, nem végzetes, viszont szükséges a Világegyetem működéséhez.

Szerettem volna, ha a végtelent száműzni lehet a matematikából és a fizikából, de ahogy egyre érdekesebb dolgokat tudok meg a matematikai végtelenről, most úgy látom a végtelen száműzésével végtelen gazdagságot veszítene a tudomány. Ahogy a nulla is kilóg valamiképpen a matematikából, ahogy a NULL és a NIL problémákat okoz a programozásban, mégsem szabadulhatunk tőlük, így a végtelen is minden furcsaságával együtt része a világunknak.

Nyíregyháza, 2020. március 24. – 2020. június 3.