Címkearchívumok: matematika

Hit és matematika – az üres halmaz

Ha korábban azt gondoltuk volna, hogy a matematika egy tisztán elméleti, egzakt, pontos és racionális tudomány, aminek a hithez végképp semmi köze nem lehet, akkor az üres halmaz kapcsán érdemes ezt a véleményünket átgondolni.

A halmazelmélet egyik érdekes állítása szerint, az üres halmaz minden más halmaz részhalmaza. A bizonyítás úgy szól, hogy ha az üres halmaznak lenne olyan eleme, amely nem eleme a tetszőleges halmaznak, akkor az üres halmaz nem lenne üres. Tehát az üres halmaz minden eleme, eleme a tetszőleges halmaznak is, tehát az üres halmaz részhalmaza minden más halmaznak.

Az állítás nem tér ki arra, hogy ez érvényes-e magára az üres halmazra, de a bizonyítás alapján úgy tűnik, igen, azaz, az üres halmaz részhalmaza az üres halmaznak is.

Csakhogy, akkor az üres halmaz nem lehet üres, hiszen van benne egy üres halmaz, amiben szintén van egy üres halmaz, és így a végtelenségig. Az üres halmaz tehát nemcsak, hogy nem üres, de egy végtelenül komplex szerkezet.

Ami nyilván egy képtelen állítás. Két feloldása lehet a paradoxonnak, vagy nem létezik üres halmaz, vagy nem részhalmaza tetszőleges más halmaznak.

Én az első lehetőséget tartom elfogadhatónak, éppen azért, mert láttuk a bizonyítás alapján, hogy ha van üres halmaz, akkor az minden halmaznak részhalmaza, ebből kaptuk az ellentmondást, hogy nincs üres halmaz. Ez tehát egy klasszikus indirekt bizonyítás: feltesszük valamiről, hogy igaz, majd ellentmondásra jutunk, tehát a kiinduló feltételünk hamis volt. Ebben az esetben feltételeztük, hogy létezik üres halmaz, ezt tehát most el kell vetnünk.

Hogy ez miért lehet probléma? Mert létezik a számelméletnek egy halmazelméleti megalapozása, ami az üres halmazból kiindulva definiálja az egész számokat (beleértve a nullát is). Nekem ez sohasem tetszett igazán, bár a fantáziámat megmozgatta a semmiből való teremtés lehetőségét megcsillantva, de most már láthatjuk, hogy ez csak csalfa remény volt. Semmiből nem lehet teremteni, és az üres halmazból sem lehet egész számokat létrehozni.

Tulajdonképpen mindig is az volt a bajom ezzel az elgondolással, hogy valami természeteset, az egész számokat definiálja valami olyasmivel, ami nem természetes, az üres halmazból képzett halmazokkal. Ráadásul eszerint a számok valójában halmazok, ami egy erős, és valószínűleg nem is igaz állítás. Én sokkal természetesebbnek vélem azt, ha axiómaként a természetes számok létezését fogadjuk el, mintha azokat a sokkal elvontabb halmaz fogalmával ragadnánk meg.

A halmaz valójában egy konstrukció, mégha elméleti konstrukció is, szerkezete van: vannak elemei, és van a halmaz, és van az “eleme” reláció, ami megmondja, hogy valami eleme-e ennek a halmaznak. Ha az üres halmazt létezőnek tekintjük, akkor azt mondjuk, hogy a semminek is lehet szerkezete, ami ugyan nem egy létező fizikai szerkezet, de egy létező logikai építmény. A semmit szerkezettel felruházni tehát nem érdemes, mert akkor az már valami lesz, nevezetesen egy szerkezet, aminek összetevői vannak.

_Alicja_ képe a Pixabay -en

Közelítsünk egy másik irányból: van öt almánk, megesszük mind az ötöt. Mi marad? Mondhatjuk azt, hogy nulla almánk maradt? Igen, de ezzel az erővel azt is mondhatjuk, hogy nulla körténk maradt! Azzal, hogy megettük az összes almát, nemcsak az “5” számot veszítettük el, hanem az “alma” minősítő fogalmat is. Nem mondhatjuk tehát, hogy nulla almánk maradt, hiszen emellett még végtelen dolgot felsorolhatnánk, amiből szintén nulla darabbal rendelkezünk. Azt sem mondhatjuk persze, hogy nincs semmink, hiszen lehetnek a birtokunkban más tárgyak is. Az egyetlen megoldás az, ha múlt időben beszélünk az 5 almáról, és nem bolygatjuk azt, hogy jelenleg hány almánk van.

Így van ez az üres halmazzal is: ha egy halmazból minden elemet elveszünk, akkor nemcsak az elemeket veszítjük el, hanem magát a halmazt is. Ha nincsenek elemek, akkor nincsen halmaz sem. Ha megettük az összes almánkat, akkor nincs olyan halmazunk, amiben almák vannak.

Ezek után ismét feltehetjük a kérdést: létezik-e üres halmaz? A fenti gondolatmenet alapján kijelenthetjük, hogy nem. A matematika történetében viszont több, mint száz éve jelen van a halmazelmélet, és ebben valamikor megjelent az üres halmaz fogalma is, ami bizonyítások sorában szerepel. Kinek van igaza? Annak, aki szerint nincs üres halmaz, vagy azoknak, akik ezt természetes módon használják a bizonyításaikban?

Van erre valamilyen mód, hogy ezt eldöntsük? Ha eddig nem beszéltünk a hitről, akkor most elő kell vennünk, ugyanis az üres halmaz létezésében vagy nemlétében csak hinni lehet, megbizonyosodni arról nem. Nincs olyan kísérleti módszer, amivel ez eldönthető lenne. Nem mutathatunk rá egyetlen üres halmazra sem, ezzel egyszer és mindenkorra bizonyítva annak létét. Beszélhetünk az üres halmazról, de ettől még a léte nem lesz bizonyított tény.

Ráadásul, ha azt állítjuk, hogy az üres halmaz nem létezik, ettől nem omlik össze semmi. El kell ugyan vetnünk a számelmélet halmazelméleti megalapozását, de ehelyett elfogadhatjuk a természetes számok létezését axiómaként. Persze ez is hit kérdése, de a számok létezésében nagyjából mindenki kora gyermekkora óta hisz, tehát ez nem okoz eltérést a hétköznapi tapasztalatainktól.

Hogy mit higgyünk el és mit ne, erre persze nincsen axiomatikus eljárás, hiszen akkor előbb ennek az eljárásnak a jogosságában kellene hinnünk, ez pedig megint csak hit.

A végső következtetésünk tehát az, hogy még az olyan racionális tudomány is, mint a matematika hiten alapszik. Az axiómákban csak hihetünk, ha nem okoznak ellentmondást, akkor hinnünk kell bennük. De hangsúlyoznunk kell, hogy ez a hit nem keverendő össze a vallásos hittel, a matematikai alapfogalmakban való hit egyszerűen követelmény, annak a következménye, hogy valamiből ki kell indulnunk, nem lehet minden valami másnak a következménye.

Persze nem zárhatjuk ki azt sem, hogy a hit forrása végső soron mégis csak valami természetfölötti. A platóni ideák lehet, hogy tényleg léteznek valahol egy fölöttünk lévő szellemvilágban.

Hogy ebben hiszünk, vagy sem, az már csak hit kérdése…

2018. szeptember 30.

Teremtés a semmiből

Jim Holt TED előadását néztem éppen, aki felírt egy képzeletbeli egyenletet: “Isten + Semmi = Valami”. A kérdés, amivel kapcsolatban ez az egyenlet megfogalmazódott, a legalapvetőbb kérdés, amit valaha gondolkodó ember feltehetett magának: “Miért van inkább valami, mint semmi?” A végső kérdés, amivel kapcsolatban lehetnek gondolataink, de amit megválaszolni sohasem fogunk.

Ám, ahogy ezen töprengtem, hirtelen megvilágosodtam: hiszen a Semmi, az Semmi, abban nemcsak hogy anyag és energia nincsen, de nincsen információ, nincsenek törvények, nincsenek számok, nincsen matematika, abban nincsen meg a lehetősége sem annak, hogy abból bármi, ami a semmitől különböző, valaha is létrejöhessen.

És hogy még érdekesebb legyen, a Semmi nem bír még a létezés tulajdonságával sem, ez a kérdés tehát nem jó: “Miért van inkább Valami, mint Semmi?” Létezni csak a valami tud, a Semmi nem! A kérdés így helyes: “Miért van bármi?”, vagy “Miért van valami egyáltalán?”. Még a feltételezés is hamis, hogy “A Semmi van.” A Semmi eredendően nem létezik, nem is létezhet. A Semmivel kapcsolatban pozitív állítást nem fogalmazhatunk meg, mert bármilyen ilyen jellegű állítás, a Semmit, mint létezőt kezelné, a Semmi pedig nem létezik. Tovább is mehetünk ezen gondolatmenet mentén: a Semmivel kapcsolatban semmilyen állítást sem fogalmazhatunk meg, még ezt az állítást sem, amit pedig most kénytelen voltam leírni.

A Semmiről egyetlen módon beszélhetünk, úgy, hogy ha hallgatunk.

Mivel a Semmiről nem szólhatunk, csak a Valami állhat a vizsgálódásaink középpontjában, ugyanis arról tehetünk pozitív és negatív állításokat is: “Valami létezik.”, “Nem létezik olyan, hogy Valami.” Ez utóbbi mondattal majdnem megmutattuk, hogy hogyan lehet a Semmiről mégis valahogy megfogalmazni egy állítást, ez azonban szintén nem korrekt kijelentés, hiszen az olyan Valami, ami nem létezik, az valójában Semmi! Így ismét a Semmiről állítottunk valamit, ezt pedig nem tehetjük, amint azt az előbb megállapítottuk.

Ezek után, ha már beláttuk, hogy a Semmi nem létezik, egyenletünk a következő alakot ölti: “Isten = Valami”. A Teremtés tehát nem a Semmiből kiindulva történt, Isten saját magából alkotta meg a világunkat. Nem is értem, hogyan vetődhetett fel egyáltalán a semmiből való teremtés ötlete, hiszen még a Biblia is világosan fogalmaz: “Kezdetben teremté Isten az eget és a földet.” Szó sincs itt semmiből való teremtésről, inkább szétválasztás, megformázás az, ami lezajlott: a káoszt formálta a Teremtő információ bevitelével renddé, e rend első képviselői voltak az ég és a föld. A Teremtő mindig is birtokában volt az információnak, másképpen nevezve a Logosz, az Ige, mindig is vele volt (János evangéliuma is világosan fogalmaz ezzel kapcsolatban). Ezért volt lehetséges a szóval való teremtés: “Legyen világosság.” Ez, az információ kivetítése, rákényszerítése a káoszra. Ez maga a Teremtés.

Roberto Nickson fotója a Pexels oldaláról

Sok ember számára a fenti magyarázat nem elfogadható, van, aki nevetségesnek, elavultnak, bárgyúnak nevezi a Teremtés, vagy az Intelligens Tervezés ideáját. Ők az ateisták, akik egyelőre nem tudtak előállni egy mindenki számára elfogadható magyarázattal, mégis önteltek és magabiztosak, amikor a semmiből való keletkezésről nyilatkoznak. Lássuk világosan, sem a Teremtés ideája, sem a semmiből való spontán keletkezés elmélete nem tudományos magyarázat, egyik sem erősebb és nem gyengébb a másiknál. A tudományos módszer ismert elemekből, feltevésekkel, bizonyításokkal állításokat vezet le, amiket kísérletileg lehet ellenőrizni, és jobb esetben olyan jóslatokkal is előáll, amiket később újabb mérések igazolhatnak. A Teremtést, vagy a semmiből való keletkezést nem lehet kísérletileg ellenőrizni, és kiinduló feltevéseink sincsenek, legalábbis olyan feltevéseink, amiket mindenki elfogadhatna. Nincs tehát miből kiindulnunk, és nem tudunk ellenőrizni sem, ezért nem nevezem én tudománynak sem a Teremtés tanítását, sem pedig a modern fizika semmiből való keletkezés elméletét.

Mind a vallásos, mind pedig az ateista része az emberiségnek, jobban tenné, ha elfogadná ezt, és nem próbálnák meg látszólag tudományos területre vinni azt a vitát, amely természeténél fogva nem kezelhető tudományos módszerekkel. Látnunk kell, hogy mindannyian ugyanabban a világban élünk, és az eredet magyarázatát illetően mindannyian ugyanabban a csónakban evezünk, ugyanazokkal a nehézségekkel kell szembenéznünk. Itt az erő, vagy akár az erőszak, a türelmetlenség, az értetlenség a másik táborral szemben, a tekintélyelvűség, az ortodoxia sehová sem vezet. Sajnos az itt felsorolt vétségeket elkövetik mind a buzgó vallásos, mind pedig a buzgó ateista gondolkodók is, a másik iránti bizalmatlanságban és értetlenségben élen járunk mindannyian.

Mi marad akkor nekünk? A tiszta gondolkodás, de ez nem bizonyító erejű. Tudnunk kell, hogy a világ keletkezésével kapcsolatban csak különböző valószínűségű, különböző mértékben elfogadható elméleteket állíthatunk elő, de ezek általános elfogadása mindig is a hit alapján történhet. Az Intelligens Tervezésbe vetett hit ugyanolyan hit, mint az ateisták hite a semmiből való keletkezésben. Hit és hit között pedig észérvekkel nem dönthetünk.

Van azonban egy nagyon érdekes kérdés, amelyről a hívők és az ateisták egyaránt gondolkodhatnak, vitázhatnak is egymással, és aminek még lehetséges is mindenki számára elfogadható eredménye. Ez a kérdés pedig arról szól, hogy mi a Matematika jellege és szerepe a világ keletkezésében és működésében. Szándékosan írtam nagy kezdőbetűvel, tulajdonnévként, mert most nem, mint egy tudományterület, hanem mint egy önállóan, mindentől függetlenül létező platóni idea kerül be ebbe a kérdéskörbe.

Amikor arról gondolkodunk, hogy a világ keletkezése/teremtése előtt volt-e valami létező, akkor anyagi természetű valamikre gondolunk. A hívők természetesen ebbe nem értik bele Isten létét, őt öröktől valónak gondolják. Egyelőre nem tudunk mit kezdeni az idővel sem, el tudunk képzelni idővel együtt keletkező világot is, de az sem vezet semmilyen ellentmondásra, ha elfogadjuk, hogy az idő létezhetett az Univerzum kezdete előtt is. Hogy a jelen pillanatig eltelhetett-e végtelen idő, az már egy külön tárgyalást érdemelne, de az mindenképpen elképzelhető, hogy az idő az Univerzum létrejötte előtt is létezhetett, még ha nem is nyúlik vissza végtelen módon a múltba.

Isten és az idő tehát állhat független létezőként az Univerzum többi alkotóelemétől. De mi van vajon a Matematikával? Létezhet-e Univerzumtól független Matematika?

Amikor a tudósok Multiverzumról, világegyetemek végtelen soráról beszélnek, olyan világokról, amikben mások a törvények, más az anyag, más az élet is, sohasem említik a Matematikát. Sohasem olvastam, vagy hallottam még olyasmiről, hogy a Multiverzum egyes világaiban más lenne a Matematika. Miért? Mert könnyen el tudunk képzelni sokdimenziós világokat, amiben a gravitáció törvénye más, vagy amiben egészen más számú és tulajdonságú kölcsönhatás van, még teljesen üres világokat is elfogadhatónak tarthatunk, egyvalamit azonban még nem próbáltunk meg: más Matematikát elképzelni. Úgy tűnik, minden, amit a Matematikában az ember “felfedez”, valamiképpen már a világunk része volt korábban is, és nem egy, korábban teljesen haszontalannak tűnő matematikai eszközről derült ki később, hogy az elméleti fizika kiválóan tudja használni a saját céljaira. Még a nem-euklideszi geometria is része a világunknak, legalábbis a világunkban létező Matematikának. Úgy néz ki tehát, ahogy nem tudunk eddig nem látott színt elképzelni, ugyanúgy nem vagyunk képesek a miénktől eltérő Matematikát kitalálni. Nem vagyunk mások, mint a Matematika végtelen tájain bolyongó felfedezők.

Katerina Holmes fotója a Pexels oldaláról

És ami még meglepőbb: minden nehézség nélkül el tudjuk képzelni a Matematikát anyagi világ nélkül is! Erre persze mondhatnánk: de hát, ha senki sincs, akinek a fejében “élhetne” a Matematika, akkor hogyan létezhetne valójában? Az az igazság, hogy elég, ha az ember idealista, és máris el tudja képzelni a minden anyagi létezőtől független Matematikát.

És máris megkaptuk a világ összetevőit: Isten (Információ, Logosz, Ige), Idő, Tudat, Anyag (tömeg, hosszúság, töltés, …?), és Matematika. Ebből négy már a most ismert Univerzum előtt létezhetett, a keletkezés tehát tulajdonképpen “csak” az Anyagot érinti.

Hogy miért képes a Matematika megállni minden egyéb nélkül a saját lábán, annak belátásához elég, ha megnézzük a számelmélet megalapozását az üres halmazból kiindulva. Az üres halmaz egy eléggé érdekes “valami”. Egyszerre van is, meg nincs is. Egyszerre létezik, és nem létezik. Ráadásul olyan potenciál rejtőzik benne, amiből előjönnek a természetes számok, azokból pedig előjön a teljes Matematika.

Ha valóban a Semmiből való keletkezésről akarunk beszélni, akkor nincs jobb példa erre, mint a Matematika. Az üres halmazból születik, és végtelen mind az elemeit, mind pedig az állításait tekintve, kimeríthetetlen, és saját eszközével, a logikával sem lehet behatárolni, megszökik minden, a megértésére irányuló erőfeszítés elől. Időtlen és végtelen, mindig lesznek benne igazolhatatlan igaz állítások, és sohasem fogjuk tudni bizonyítani, hogy ellentmondásmentes.

Ha valami igazán közel lehet egymáshoz, az Isten és a Matematika.

Mondhatnánk, hogy mindaz, amiről eddig szó volt, teljesen felesleges, sőt értelmetlen. Én másképpen gondolom, én mindezt filozófiának nevezem, ami gyönyörködtet és szórakoztat, néha közelebb visz a megvilágosodáshoz, és annyiban mindenképpen érdekes, hogy az ember olyasmiket ír le, amiket éppen a leírás pillanatában gondol, ily módon ez a tevékenység teljesen analóg a semmiből való teremtéssel. Mindaz, amit éppen most a Teremtésről írok, maga is Teremtés. Olyan, mint Escher egymást rajzoló két keze, ahogy létrehozzák egymást a Semmiből. És ettől az ember megborzong egy kicsit. Hát ezért jó ilyesmiket írni.

De hogy valami konkrét érveléssel fejezzük be: az ateista tudósok között manapság a legnépszerűbb keletkezés elméletről is szeretnék röviden szót ejteni. Ők ezt a semmiből való keletkezés teóriájaként adják elő, majd elővezetik a kvantumvákuumot és a határozatlansági relációt, a nullponti energiát és a virtuális részecskéket, és képesek a továbbiakban is következetesen a semmiből való keletkezésről beszélni, persze anélkül, hogy látnák, valójában nem a semmiből indultak ki, és anélkül, hogy bármilyen ellenőrizhető bizonyítékot szolgáltatnának (láttuk, ilyen nem is létezhet, de erről az ateisták mélyen hallgatnak). Ez a semmi tehát a következő összetevőkből áll: idő, vákuum (ami nem üres), fizikai törvények (határozatlansági reláció), matematika (ez szükséges a fizikához), és csoda. Ez ahhoz kell, hogy akkora virtuális buborék pattanjon elő a vákuumból, ami nem tűnik el nyomban, hanem inflálódni kezd, és létrehozza a ma ismert Világegyetemet. Nem a semmiből, ezt nem győzöm eléggé hangsúlyozni!

Akár a semmiből valók vagyunk, akár nem, mindenesetre itt élünk ebben a világban, képesek vagyunk gondolkodni még olyan elvont fogalmakon is, mint a Semmi vagy a Valami.

A világ ma is több lett valamivel, információ formálódott szavakból, gondolatok, amelyek mind hozzájárulnak a komplexitás növekedéséhez.

Ki tudja, talán mi sem vagyunk mások, mint a Valami eszközei, amivel “előrajzoljuk” a világot a Semmiből…

Nyíregyháza, 2018. június 11 – 2018. július 1.